Hình chiếu của điểm lên đường thẳng

Cách search hình chiếu của một điểm lên đường thẳng cực hay

Với bí quyết tìm hình chiếu của một điểm lên đường thẳng cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương thức giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm bao gồm lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết cách làm dạng bài tập search hình chiếu của 1 điểm xuất hành thẳng từ kia đạt điểm cao trong bài bác thi môn Toán lớp 10.

Bạn đang xem: Hình chiếu của điểm lên đường thẳng

A. Cách thức giải

Cho trước điểm A(x0; y0) và phương trình mặt đường thẳng d: ax + by + c = 0 bao gồm VTPT n→( a; b). Tìm kiếm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:

+ bước 1: gọi H là hình chiếu của A khởi hành thẳng d.

+ cách 2: Lập phương trình tổng thể của AH

AH:

⇒ phương trình AH: b(x - x0) - a(y - y0) = 0

+ cách 3: AH và d cắt nhau trên H bắt buộc tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Từ hệ phương trình trên ta suy ra tọa độ điểm H.

B. Lấy ví dụ minh họa

Ví dụ 1: mang lại điểm A( 1; 2) và mặt đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm hình chiếu của A khởi hành thẳng d.

A. ( 1; -2) B. (-

; ) C. ( ; ) D. Đáp án khác

Lời giải

+ điện thoại tư vấn H là hình chiếu của A khởi hành thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

(AH) :

⇒ Phương trình ( AH) : 2(x - 1) – 1.( y - 2) = 0 tuyệt 2x - y = 0

+ hai tuyến đường thẳng AH cùng d giảm nhau trên H phải tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

Chọn C.

Ví dụ 2: cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm hình chiếu của điểm A khởi hành thẳng d.

A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. (1; -2) D. (-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 bắt buộc điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Hình chiếu của điểm A căn nguyên thẳng d chính là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 3: đến tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB cùng J( -4; 2) là trung điểm của AC. Call hình chiếu của điểm A lên BC là H. Viết phương trình con đường thẳng AH?

A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai

Lời giải

+ vì I cùng J lần lượt là trung điểm của AB cùng AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ bởi H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) với ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 tuyệt 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 4: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trên tuyến đường thẳng ∆: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( 14; -19) B. ( 2; 3)C. (; ) D. (- ; )

Lời giải

+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→(1; -2)

gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→(2t - 8; t - 1)

⇒ nhì vecto MH→ với n→(2; -3) cùng phương nên:

⇒ H(; )

Chọn C.

Ví dụ 5: cho đường thẳng ∆:

cùng điểm M(3; 3) . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. (1; 0) C. (-2; 2) D. (7; -4)

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ ⇒ H(1 + 3t; - 2t), MH→ = (- 2 + 3t; - 3 - 2t)

Đường thẳng gồm vectơ chỉ phương là u→( 3; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→.u→ = 0 ⇔ 3( -2 + 3t ) – 2( -3 - 2t) = 0

⇔ -6 + 9t + 6 + 4t = 0 ⇔ 13t = 0 ⇔ t = 0

⇒ H ( 1; 0)

Chọn B.

Ví dụ 6: Tìm hình chiếu của A( 3;-4) phát xuất thẳng d:

A. ( 1; 2) B. (4; -2) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)

Lời giải

+ mang điểm H(2 + 2t; -1 - t) ở trong d.

Ta có AH→ = (2t - 1; -t + 3)

Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)

+Do H là hình chiếu của A bên trên d

⇔ AH ⊥ d ⇔ u→.AH→ = 0 ⇔ 2(2t - 1) - (- t + 3) = 0 ⇔ t = 1

+ cùng với t = 1 ta gồm H( 4; -2)

Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).

Chọn B.

Ví dụ 7: mang đến đường trực tiếp ∆:

. Hoành độ hình chiếu của M( 4; 5) bên trên ∆ sớm nhất với số nào sau đây ?

A. 1,1B. 1,2C. 1,3D. 1,5

Lời giải

Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ buộc phải H( 2 - 3t; 1 + 2t) cùng MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

Xem thêm: Cáo Việt Net đánh giá chi tiết cổng Jamba game bài đổi thưởng

u→ ⊥ MH→ ⇔ u→.MH→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t =

⇒ H( ;

)

⇒ Hoành độ của điểm H là .

Chọn D.

Ví dụ 8: mang lại tam giác BAC tất cả AB = 3; BC = 3√3 và góc B = 300.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Search mệnh đề đúng?

A. H bên trong đoạn BC thỏa mãn: bh = 2 HC

B. AH =

.

C. BH = 2.

D. Tất cả không nên

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 – 2.AC.BC.Cos B

= 32 + (3√3 )2 - 2.3.3√3.cos300 = 9

⇒ AC = 3 cần AB = AC = 3

⇒ Tam giác BAC cân nặng tại A.

+ AH là mặt đường cao bắt buộc đồng thời là con đường trung tuyến đường

⇒ H là trung điểm của BC: bh = CH =

+ Xét tam giác vuông AHB có: AH = AB.sinB = 3.sin300 = 1,5.

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: cho điểm A( -1; 2) và con đường thẳng ∆:

. Search điểm M trên ∆ sao để cho AM ngắn nhất.

A. ( 1; -3) B. ( 1; 3) C. (0; 5) D. (4; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Lấy điểm M ( t - 2; - t - 3) trực thuộc ∆

⇒ AM =

Ta có: ( t + 2)2 ≥ 0 với tất cả t đề nghị 2( t + 2)2 + 18 ≥ 18

⇒ AM =

⇒ AM ngắn độc nhất là √18 khi còn chỉ khi : t + 2 = 0 tốt t = 2.

Khi kia tọa độ điểm M( 0 ; 5) .

Câu 2: Toạ độ hình chiếu của M(4; 1) trê tuyến phố thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A. (

; )B. (; ) C. (; )D. (; )

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường trực tiếp d có một VTPT n→(1; -2).

gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d thì MH→(2t – 8; t - 1)

Và n→(1; -2) thuộc phương khi và chỉ còn khi

→ H(; ).

Câu 3: đến tam giác ABC bao gồm A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB cùng J( -1; 0) là trung điểm của AC. Call hình chiếu của điểm A lên BC là H ( x; y). Tính x + 2y?

A. 0 B. - 1 C. 2 D. 3

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

+ bởi I và J theo lần lượt là trung điểm của AB với AC bắt buộc IJ là con đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ vì H là hình chiếu của A lên BC

⇒ AH vuông góc BC (2).

Từ(1) với ( 2) suy ra: AH vuông góc IJ

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): - 3( x - 1) – 1( y - 3) = 0 xuất xắc 3x + y - 6 = 0.

+ Phương trình IJ:

⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) – 3( y - 1) = 0 hay x - 3y + 1 = 0.

+ hotline giao điểm của IJ cùng AH là M. Tọa độ điểm M là nghiệm hệ :

+ lại sở hữu M là trung điểm AH ( bởi MI // bảo hành và I là trung điểm AB)

⇒ Tọa độ điểm H:

⇒ x + 2y = 0

Câu 4: Toạ độ hình chiếu của M(- 2; 1) trên đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0 là:

A. (

; - ) B. ( ; ) C. ( - ; ) D. (1; 0)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

+ Đường thẳng ∆ có một VTPT n→( 2; -1)

hotline H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)

⇒ nhị vecto MH→ cùng n→( 2; -1) thuộc phương nên:

⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -

⇒ Tọa độ điểm H( - ; )

Câu 5: mang đến đường trực tiếp ∆:

cùng điểm M(2; -3). Tọa độ hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. (-0,8; -4,4) C. (-2,2; 4) D. (7; -4,4)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.

Ta có: H trực thuộc ∆ phải H( -3 + t ; -2t) ⇒ MH→( t - 5 ; 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M bên trên ∆ nên hai tuyến phố thẳng MH với ∆ vuông góc cùng với nhau

⇒ MH→ . U→ = 0 ⇔ 1(t - 5) – 2( 3 - 2t) = 0

⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2

⇒ H (- 0,8; - 4,4)

Câu 6: kiếm tìm hình chiếu của A( 1; 2) xuất xứ thẳng d: x - 3y + 6 = 0

A. H( 1; 2) B. H( ; ) C. H( ; ) D. H(

; )

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

+ mang điểm H(3t - 6; t) nằm trong d.

Ta gồm AH→( 3t - 7; t - 2)

Vectơ pháp tuyến của d là u→( 1; -3)

+Do H là hình chiếu của A trên d bắt buộc hai vecto AH→ cùng u→ thuộc phương :

⇔

⇔ - 3( 3t - 7) = 1(t - 2)

⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =

+ cùng với t = ta gồm H( ; )

Câu 7: cho đường trực tiếp ∆:

. Hoành độ hình chiếu của M(1; 2) trên ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. -0,56B. 0,32C. 1,3D. 0,85

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là hình chiếu của M bên trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ cần H( 2 - 3t; 1 + 2t) cùng MH→( 1 - 3t; 2t - 1 )

Đường trực tiếp ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

Hai vecto MH→ và u→ vuông góc với nhau bắt buộc : MH→ . U→ = 0

⇔ 3( 1 - 3t) – 2( 2t - 1) = 0 ⇔ 3 - 9t - 4t + 2 = 0

⇔ t = 5/13

⇒ Hoành độ của điểm H là 2 - 3t = 11/13

Câu 8: đến tam giác ABC có AB = 4; BC = 4√2 với góc B = 450.Gọi H là hình chiếu của A lên BC. Tìm mệnh đề đúng?